猫眼电影记者 郭德纲 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：世界杯投注投不了了

  12月26日,浙江近二十年发现新物种132个,欧盟乘用车正常关税税率为10%，意味着上汽集团和其他不配合调查的企业面临的关税税率增至48.1%。其他企业的关税税率则在27.4%至31%之间。,九游官网app。

  12月26日,给学生放“雪假”，为冰雪经济加“热度”,5天之后，中国队将迎来最后一场“生死战”，希望国足将士能珍惜为数不多与亚洲强队交手的机会，拼尽全力为国人带来一次惊喜。,宝马线上娱乐新mg,欧博快速注册,沙巴体育苹果版下载。

  时事2：鼎博下载入口

  12月26日,济南市全市职教社骨干成员专题培训班成功举办,彼时信达财险的建立，更多是为了其大股东中国信达服务。作为信达财险的首任董事长，陈方清在该公司发展初期主导了战略定位。其曾表示，信达财险的成立是信达资产转型的战略需要，旨在利用股东中国信达的客户和网络资源优势，同时通过创新在市场竞争中寻找差异化发展路径，例如采取“主做财险、辅做车险”的策略。,世界杯投注 网址多少,PG电子游戏快速注册,现在捕鱼达人有没有破解版本。

  12月26日,广西三江：夕照熔金染侗乡,今年3月，美国太空部队负责人、太空作战部长对参议院军事委员会的一个小组委员会成员说，中国“很可能在追求能够摧毁地球同步轨道卫星的反卫星系统”。“他们正在测试可以武器化的在轨卫星系统，就像他们已经展示的那样。”,金博宝app安全吗,滚球正规网站,凯发K8国际登录。

  时事3：世界杯投注总额

  12月26日,女孩穿“光腿神器”进急诊！医生提醒,（文/邓文静 编辑/高莘）日前，2024北京CBD论坛中外车企圆桌对话会在北京举行。此次对话会以“全球合作、加速发展”为主题，汇聚了来自政府相关部门、行业专家智库、中外知名车企、国际组织、行业协会等领域的代表，为中外汽车产业的合作与发展搭建桥梁。商务部党组成员、副部长盛秋平出席会议并讲话。,乐虎国际足球,美高梅平台app,球探比分是什么网站。

  12月26日,金融活水精准滴灌，山东硬核科技拔节,凭借独特区位成为航空枢纽的成功案例很多，比如迪拜、多哈、伊斯坦布尔，眼下阿拉木图也在这条路上努力着。,2026年世界杯官方网站,可以面对面玩的斗地主,十大正规赌网。

  时事4：世界杯买球能买输赢吗

  12月26日,缅怀先烈 致敬和平 多地开展国家公祭日主题教育活动,半年不到，便获得了来自资本市场及产业界的积极反馈。9 月，来自全球上市发售的吉利 AI 科技大六座旗舰 SUV 银河 M9 也搭载了 MiniCPM 多模态模型，双方共同打造全新的人车交互体验，成为面壁在汽车智能座舱领域的又一代表作。今年 4 月，面壁携手长安马自达、梧桐科技共同打造的首款端侧模型量产车型——长安马自达战略级新能源车型 MAZDA EZ-60 已上市。,森林王国电玩,卡塔尔世界杯决赛买球,波音网上线上。

  12月26日,武汉AI产业规模预计破千亿元 全产业链加速形成,带领国足三场比赛，主客场对阵新加坡、主场对阵泰国，伊万只交出了1胜1平1负的尴尬答卷，技战术角度，三场比赛，伊万留下了太多值得商榷之处，还有最后一场和韩国队的比赛，留给伊万的时间已经不多了……,鸿博体育平台官网登录,网址365,必发app最新版。