猫眼电影记者 罗丹明 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：bbin游戏在线

  12月22日,中国新闻网重要岗位招聘公告,而且1月的资金面状态，最能体现央行态度变化。例如2021年初防空转、2023年初疫情形势好转、2025年初经济好转叠加央行关注债市收益率变化，资金面收敛最为显著。,沙巴官方。

  12月22日,国内首次！夏尔希里自然保护区发现菊科新物种“橙黄细毛菊”,央行购金的战略诉求和购金渠道的多元性客观上增加了央行购金数据的跟踪难度。,w66最老牌,云顶娱乐客服电话多少,凯时娱乐官网。

  时事2：bet365网站登录入口

  12月22日,中国海警位中国黄岩岛领海及周边区域执法巡查,数据显示，美国11月CPI同比上涨2.7%，低于经济学家此前预测的3.1%。数据公布后，联邦基金利率期货显示，美联储2026年1月会议降息概率小幅上升。美联储理事沃勒上周亦表示，美联储仍有更大的降息空间，其言论进一步强化了市场的宽松预期。,365bet平台下注,job体育app,Ar3bet。

  12月22日,实拍高原上的“较量”：雪豹捕猎岩羊不料结局反转 雪豹“懵圈”,不仅如此，人福医药还通过设立金科瑞达、武汉睿成及智盈新成等公司，承接公司剥离的资产，但这些公司实际上仍由人福医药控制。由于未将这些公司纳入合并财务报表范围，导致2020年、2021年及2022年半年度报告的净利润出现虚增。,开元棋脾788vip下载,凯发娱乐官方网站体育网站,pg电子游戏试玩平台。

  时事3：澳门金沙游戏登录

  12月22日,黑龙江伊春森工集团有限责任公司原总经理杨公伟被“双开”,12月27日晚，圣元环保（300867）连发两则公告，就6000万元私募理财巨亏事件披露最新进展：公司及三位核心高管因未及时披露重大损失，收到厦门证监局警示函；同日，公司控股股东、实际控制人朱煜煊与朱恒冰，承诺对投资本金损失进行先行补偿，最大限度保障公司及股东利益。,全民斗牛,银河正规游戏平台,下载银河集团。

  12月22日,海军新闻发言人就辽宁舰航母编队远海训练发布消息,同日，外交部发言人林剑在例行记者会上强调，这起调查是典型的保护主义行为，无视客观事实，罔顾世贸规则，违背历史潮流，只会损人害己。,188体育开户官方,波克捕鱼礼包兑换码cdk,AG平台代理。

  时事4：万博在线下载

  12月22日,北京卧佛寺蜡梅盛开吸引游人,其实，郑州对文旅的带动作用不一定表现在某一产品或服务，能够吸引多大的客流量。它对文旅产业的辐射带动，是多维度、多方面的。,世界杯线下投注,乐博娱乐官网,真人德州。

  12月22日,我国危险化学品安全管理有了专门法律,屠新泉认为，最终结果尚未公布，车企应积极应诉，有效控制相关风险。长期来看，车企应提高产品竞争力，探索更多技术合作、投资合作等不同合作方式，进一步扩大和相关国家的合作利益。不能把贸易当做唯一的市场占领手段，要更多地寻求国际投资和合作。,宝博捕鱼有什么技巧,皖青体育下载app,云顶娱乐手机版官网登入。