猫眼电影记者 方欣捷 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：188体育注册网站首页

  12月25日,中国高校首个船海核领域集成电路学院成立,5月6日下午，甘肃嘉峪关市教育局工作人员回应极目新闻记者称，赵菊英于2023年从该市某小学退休，针对网友们反映的问题，教育局将介入调查。,手机上如何买足球。

  12月25日,又快又顺畅、几乎“无感”！230多吨货物三亚港“二线口岸”15分钟通关,风控原本是核心业务系统的牵头方，现在可能更多由业务部门牵头。但风控始终是融资租赁的痛点。以低空经济为例，我们将风控分为设备风险、运营风险、客户信用风险三大块，建立模型嵌入系统。这样在租前、租中、租后都能清晰看到数据爆发时代的风险预警，这是人为难以做到的。,永利皇宫手机版官网,云顶官方下载,澳门新博京。

  时事2：澳博体育电竞

  12月25日,迈向“十五五”美丽图景·一线见闻 长护险为失能人员家庭“搭把手”,佐藤正久声称，如今有许多年轻人开始为了时尚而进行文身，大多文身图案只是一些花或者名字之类的内容，就加强自卫队人力而言，因有这一类文身而拒绝录用是一个严重问题。,尊龙app官网登录,英皇体育最新地址,火狐在线登录。

  12月25日,美国宣布巨额对台军售计划 中方：美方“以武助独”只会引火烧身,期间，美国保守派媒体纷纷下场，批评这一行为不妥。如福克斯新闻网称这一吻“令人尴尬”，《每日连线》编辑则质疑称两人用“嘴唇相贴”的吻问候“正常吗”，《纽约邮报》也称这一问候吻“怪异”，并补充称“总统妻子和副总统丈夫的亲吻似乎没有让附近的人感到不安”。,爱游戏电竞,买球网娱乐,澳门太阳集团备用网址。

  时事3：牛宝体育电竞

  12月25日,与“台独”分裂势力勾连，被外交部反制的日本人岩崎茂是谁？,该公司2024年投资收益出现巨额负值，同比下降317.55%至11.67亿元。这是其成立以来首次投资收益负值，数值超过了2022年的历史最高正收益。该下降趋势在2023年便有所显现，2023年下降48.18%至5.36亿元。连续两年的投资收益下降，也是导致2024年净利润大幅减少的因素之一。,亚赢国际,优博开户,aoa体育平台娱乐。

  12月25日,美《时代》周刊揭晓2025年度人物：“AI缔造者们”,台“农委会”“主委”陈吉仲称，蛋类产量恢复要到5、6月，期间将全力调度满足消费者需要。对此，民众党“立委”邱臣远11日批评，台湾从导弹缺到鸡蛋，过去抢口罩抢疫苗，现在抢药、抢水、抢鸡蛋，“一场全台大缺蛋，被提升的只有‘主委’的口才反应力”。,澳门去去妹巴黎人,博远棋牌平台,棋牌网页游戏。

  时事4：澳门皇冠你值得网页地址

  12月25日,浙江海联会和浙商企业紧急驰援香港火灾救援行动,从行业环境看，人福医药面临的政策压力未有缓解迹象，药品集中带量采购范围不断扩大，从化学药向生物药、中成药扩展，价格降幅依然明显；医保支付方式改革（DRG/DIP）全面推行，促使医院更加关注药品的成本效益，对高价原研药和专利药形成压力。,世界杯投注方法推荐,bbin在线开户,电子pg游戏网站。

  12月25日,脑卒中5大预警信号，出现一个就要警惕！千万别大意→,从“三驾马车”来看，西安投资增速为负，社消零增速仅0.1%，只有进出口增速达到7.4%，表现较为突出。而佛山进出口增速大幅下滑33.1%，投资增速和规上工业增加值增速则均未公布。,金冠棋牌娱乐WWW,188宝金博在线注册,亚洲365体育。